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线性代数(理工类)

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线性变换

一、变换的概念
    定义设有两个非空集合，若对于中任一元素，按照一定规则，总有中一个确定的元素和它对应，则这个对应规则称为从集合到集合的变换（或映射），记作
                        或 .
     设，就说变换把元素变为，称为在变换下的像，称为在变换下的源，称为变换的源集，像的全体所构成的集合称为像集，记作. 即
                        ，
显然.

二、线性变换的概念

    定义设分别是实数域上的维和维线性空间，是一个从到的变换，如果变换满足
    (1)任给，有
                     ；
    (2)任给，，都有
                     .
那么，就称为从到的线性变换.

注：一般用黑体大写字母代表线性变换；若，则是一个从线性空间到其自身的线性变换，称为线性空间中的线性变换.

三、线性变换的性质

    1. .
    2. 若，则
             .
    3. 若线性相关，则亦线性相关.
    4. 线性变换的像集是一个线性空间（的子空间），称为线性变换的像空间.
    5. 使的的全体是的子空间，称为线性变换的核.

四、线性变换的秩
定义线性变换的像空间的维数，称为线性变换的秩.
注：若的秩为，则的核的维数为.

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