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线性代数(理工类)

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基与坐标

一、线性空间的基与维数
    定义在线性空间中，若存在个元素，满足：
    (1)线性无关；
    (2)中任一元素总可由线性表示，
则就称为线性空间的一个基，称为线性空间的维数. 维数为的线性空间称为维线性空间，记作.
    当一个线性空间中存在任意多个线性无关的向量时，就称是无限维的.
    注：若为的一个基，则可表示为
                    .

二、坐标
    定义设是线性空间的一个基，对于任一元素，总有且仅有一组有序数使
                          ，
则称有序数组为元素在基下的坐标，并记作
                         .
    注：的元素与有序数组一一对应.

三、线性空间的同构
定义设、是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就称线性空间与同构.

同构的性质

1.数域上任意两个维线性空间都同构.

2.同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性.

3.同维数的线性空间必同构.

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