一、线性空间的定义

    定义  设是一个非空集合，为实数域. 如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称其为与的和，记作；若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称其为与的积，记作.若上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域上的线性空间（或向量空间）：

    设，

    (1)；          (2)；

    (3)在中存在零元素，对任何，都有；

    (4)对任何，都有的负元素，使；

    (5)；                 (6)；

    (7)；    (8).

    注：满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算；线性空间的元素一般仍称为向量，从而线性空间也称为向量空间.

二、线性空间的判定方法

    1.一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的某一条，则此集合就不能构成线性空间.

    2.一个集合，若定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性.

    3.一个集合，若定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算，则必须检验是否满足八条线性运算规律.

三、线性空间的性质

    1. 零元素是唯一的.

    2. 任一元素的负元素是唯一的.

    3. .

    4. 若，则或.

四.线性空间的子空间

    定义  设是一个线性空间，是的一个非空子集，如果对于中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称为的子空间.

    定理  线性空间的非空子集构成子空间的充分必要条件是: 对于中的线性运算封闭.