相似矩阵的性质
定理1 若阶矩阵与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同.
证 与相似，故可逆矩阵使得 ，
，
即与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.
如对例1中的矩阵，由
，
，
易见它们有相同的特征值 ，
相似矩阵的其它性质：
1.相似矩阵的秩相等；
提示：相似矩阵一定等价，而等价的矩阵具有相同的秩.
2.相似矩阵的行列式相等；
提示：与相似，两边取行列式即得.
3.相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似.
证 设阶矩阵与相似，故与具有相同的可逆性；若与相似且都可逆，则非奇异矩阵，使 ，于是
，
即与相似. 证毕.
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知识点提示
1、相似矩阵
设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使
，
则称是的相似矩阵，并称矩阵与相似.
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