大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第四章 矩阵的特征值与特征向量 -> 4.2 矩阵的特征值与特征向量 -> 内容要点 -> 定理
定理
定理 阶矩阵互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.
证 用数学归纳法. 时，因特征向量不为零，结论成立.
设前个特征值对应的特征向量线性无关，欲证线性无关.设
①
成立，以矩阵乘①式两端，由整理得
②
由② - ①消去，得
于是①式化为
， ，
则 ，故线性无关.
注：(1)阶方阵有个不同的特征值，则有个线性无关的特征向量；
(2)属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量；
(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值.
因为，若设同时是的属于两个不同的特征值的特征向量，即
.
由，得，与定义矛盾. 故结论成立.
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知识点提示
1、线性相关和线性无关的定义
对给定向量组，若存在不全为零的数使
成立，则称向量组线性相关；否则称为线性无关.
2、特征值与特征向量的定义
设为阶方阵，如果数和维非零向量使
成立，则称数为的一个特征值，非零向量称为的对应于特征值的特征向量.
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