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线性代数(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第三章线性方程组 -> 3.3 向量组的线性相关性 -> 内容要点 -> 线性相关性的判定-定理2

线性相关性的判定-定理2

定理2 设有列向量组，则向量组线性相关的充要条件是：矩阵的秩小于向量的个数.

证明由齐次线性方程组有非零解的充要条件是：其系数矩阵的秩小于未知数的个数，定理得证.

推论1 个维列向量组线性无关(线性相关)的充要条件是：矩阵的秩等于(小于)向量的个数.

推论2 个维列向量组线性无关(线性相关)的充要条件是：矩阵的行列式不等于(等于)零.

注：上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.

推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组线性相关.

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知识点提示

1、线性相关和线性无关的定义

对给定向量组，若存在不全为零的数使

成立，则称向量组线性相关；否则称为线性无关.

2、齐次线性方程组解的判定

对于方程组：

有非零解.

只有零解.

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