关于矩阵的一些问题

消元法常见错误分析：

1.       用消元法时，学生不能正确地将增广矩阵化简成简化的行阶梯形矩阵，其原因除计算错误外，还有方法的不规范。应向学生指明：增广矩阵化为行阶梯形矩阵，对应了高斯消元法的“消元过程”；而将行阶梯形矩阵化为简化的行阶梯形矩阵，对应了高斯消元法的“回代过程”。

2.       在化增广矩阵为（简化）行阶梯形矩阵时，应用各种初等列变换都是错误的。为了保证简化后的矩阵所对应的方程组与原方程组同解，在化简增广矩阵的过程中，只能用初等行变换，而不用初等列变换。虽然第1种列变换（即交换两列的位置，实质相当于交换方程组两未知量的前后位置），也不会改变方程组的解，但通常不用该变换，而只用行变换即可求出方程组的解。

矩阵的特征值

问题1：能由矩阵 的特征值判定其是否可逆吗？

考察知识点：一、矩阵可逆的充要条件  二、矩阵的特征值

解答：能。

设矩阵的特征值为 ，则 ，因此矩阵 可逆的充要条件为所有的特征值全不为零。

小结：矩阵的可逆性与其特征值的关系可用于判定某些矩阵是否可逆。

进一步问题：

问题2：已知 是相互正交的 维列向量，问 是否可逆？为什么？

解答：可逆。

记 ，则 ,所以 的所有特征值全为零，即 的所有特征值全为1，故 可逆。

矩阵的相似对角化

问题3：设 是 阶下三角矩阵，如果 ，且至少有一个 ，则矩阵 可以相似对角化吗？

解答：不可以。

用反证法。

设 可以对角化，则存在可逆矩阵 ，使得 ，由于下三角矩阵的特征值是其主对角元素，即 ，所以 ，

，这与至少有一个 相矛盾，所以矩阵 不可以对角化。