大学普通本科 -> 简明版-经管类 -> 微积分 -> 第八章 微分方程与差分方程 -> 8.1 微分方程的基本概念
内容要点
教学举例
- 例1 设一物体的温度为，将其放置在空气温度为的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程
(1)
其中为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型. 根据题意，还需满足条件
. (2) - 例2 设一质量为的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力等于物体的质量与物体运动的加速度的乘积，即，若取物体降落的铅垂线为轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是，物体下落的距离与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程
，
其中为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型. 根据题意，还需满足条件
. - 例3 如果某商品在时刻的售价为，社会对该商品的需求量和供给量分别是的函数，则在时刻的价格对于时间的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量成正比，即有微分方程
在和确定情况下，可解出价格与时间的函数关系，这就是商品的价格调整模型 .
- 例4 试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.
(1)； (2) ；
(3)； (4). - 例5 验证函数(为任意常数)是方程
的通解，并求满足初始条件的特解.
习题解答
[1]
[2]
-
1. 指出下列微分方程的阶数：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
- 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
-
(1) ，；
-
(2) ，；
-
(3) ，；
-
(4) ，.
- 3. (是任意常数)是方程的通解，求满足初始条件的特解.
- 4. (为任意常数)是方程的通解，求满足初始条件，的特解.
- 5. 设函数是方程的通解，求.
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