大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第七章 微分方程 -> 7.1 微分方程的基本概念
内容要点
教学举例
- 例1 设一物体的温度为，将其放置在空气温度为的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程
(1)
其中为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型. 根据题意，还需满足条件
. (2) - 例2 设一质量为的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力等于物体的质量与物体运动的加速度的乘积，即，若取物体降落的铅垂线为轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是，物体下落的距离与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程
，
其中为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型. 根据题意，还需满足条件
. - 例3 试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.
； ；
(3)； . - 例4 求曲线族满足的微分方程，其中为任意常数.
- 例5 验证函数(为任意常数)是方程
的通解，并求满足初始条件的特解.
习题解答
[1]
[2]
-
1. 指出下列微分方程的阶数：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
- 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
-
(1) ，；
- (2) ，；
-
(3) ，；
-
(4) ，.
-
3. 验证由方程所确定的函数为微分方程
的解.
- 4. (是任意常数)是方程的通解，求满足初始条件的特解.
- 5. (为任意常数)是方程的通解，求满足初始条件，的特解.
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