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线性代数(理工类)

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矩阵的对角化

一、矩阵的对角化
定义对阶方阵，若存在可逆矩阵，使为对角矩阵，则称方阵可对角化.
定理阶矩阵可对角化的充要条件是的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，或设是矩阵的重特征值，则

              与相似.

二、矩阵对角化的步骤
    1.求出矩阵的全部特征值；
    2.对每个，求齐次线性方程组的基础解系，得到个线性无关的特征向量；
    3.令，则
                            ，
其中为对应的特征值.

三、实对称矩阵的对角化

1.实对称矩阵的性质

    定理1 实对称矩阵的特征值都为实数.
    定理2 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的.
    定理3 设为阶实对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而对应于特征值恰有个线性无关的特征向量.
    定理4 设为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵.

2.实对称矩阵对角化的步骤
    (1) 求的特征值;
    (2) 由求出的特征向量；
    (3) 将特征向量正交化；
    (4) 将特征向量单位化；
    (5) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵，使得 .

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