一、线性方程组解的判定定理
    1.非齐次线性方程组，记增广矩阵，则
      有唯一解；
      有无穷多解；
          无解.
    2.对于齐次线性方程组：
      有非零解.
      只有零解.

二、基础解系
    定义  若齐次线性方程组的有限个解满足：
    (1)线性无关；
    (2)的任意一个解都可由线性表示，
则称是方程组的一个基础解系.
    注：如果是齐次线性方程组的一个基础解系，则的全部解可表示为               
                          （*） 
其中为任意实数，而表达式（*）称为线性方程组的通解.
    定理  对于齐次线性方程组，若，则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于，其中是方程组所含未知量的个数.

三、解空间及其维数
    定义  设为矩阵，则元齐次线性方程组的全体解构成的集合是一个向量空间，称其为该方程组的解空间.
    1.当时，解空间的维数为.
    2.当时，方程组只有零解，此时解空间只含有一个零向量，解空间的维数为.
    3.当时，方程组必含有个向量的基础解系，此时方程组的任一解可表示为
                     ，
其中为任意实数，而解空间可表示为
                    .

四、齐次线性方程组解的性质

    1.若为方程组的解，则也是该方程组的解.
    2.若为方程组的解，为实数，则也是该方程组的解.
    注：若是方程组的解，为任何实数，则线性组合

也是方程组的解.

五、非齐次线性方程组解的性质
    非齐次线性方程组可表示为      
    其对应的齐次线性方程组为      
    1.若是非齐次线性方程组的解，则为对应齐次方程组的解.
    2.设是非齐次线性方程组的解，是对应齐次线性方程组的解，则是方程组的解.
    定理  设是非齐次线性方程组的一个解，是对应齐次线性方程组的通解，则是的通解.
    注：设是基础解系，是的一个特解，则非齐次方程组的通解可表示为：
                        ， 
其中.