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线性代数(理工类)

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向量空间

一、向量空间的概念

定义设为维向量的集合，若集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，即

(1)若，，则；

(2)若，，则

则称集合为向量空间.

子空间：设有向量空间和，若向量空间，则称是的子空间.

二、向量空间的基与维数

定义设是向量空间，若有个向量，且满足

(1)线性无关；

(2)中任一向量都可由线性表示.

则称向量组为向量空间的一个基，数称为向量空间的维数，并称为维向量空间.

注：1.只含零向量的向量空间称为维向量空间，它没有基；

2.若把向量空间看作向量组，则的基就是向量组的极大无关组，的维数就是向量组的秩；

3.若向量组是向量空间的一个基，则可表示为
，
此时，又称为由基所生成的向量空间.

三、中坐标变换公式

1.基变换公式

在中取定一个基，再取一个新基，设，.则基变换公式为
，
其中系数矩阵称为从旧基到新基的过渡矩阵.

2.坐标变换公式

    如果在向量空间中取定一个基，那么中任一向量可唯一地表示为
                         ，
有序数组称为向量在基中的坐标.
    设向量在旧基和新基中的坐标分别为和，则坐标变换公式为

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