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线性代数(理工类)

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向量组的秩

一、极大线性无关向量组
    定义设有向量组，若在中能选出个向量，满足
    (1)向量组线性无关；
    (2)向量组中任意个向量（若有的话）都线性相关.
则称向量组是向量组的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）.
    注：向量组的极大无关组可能不止一个，但其向量的个数相同.
    定理如果是的线性无关部分组，它是极大无关组的充分必要条件是中的每一个向量都可由线性表示.

二、向量组的秩
定义向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记为.

注：全由零向量组成的向量组的秩为零.

三、矩阵与向量组秩的关系

定理1 设为矩阵，则矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.

定理2 若向量组能由向量组线性表示，则.

推论1 等价的向量组的秩相等.

推论2 设，则，.

推论3 设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个极大无关组.

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