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向量组的线性组合
一、维向量及其线性运算
1.向量和向量组
定义 个有序的数组成的数组称为维向量，这个数称为该向量的个分量，第个数称为该向量的第个分量.
若干个同维数的列向量（同维数的行向量）所组成的集合称为向量组.
矩阵
，
称为矩阵的列向量组，为矩阵的行向量组.
2.向量的线性运算
加法： 两个维向量与的各对应分量之和所组成的向量，称为向量和的和，记为，即
.
减法：
.
数乘：维向量的各个分量都乘以实数所组成的向量，称为数与向量的乘积，记为，即
.
二、向量组的线性组合
定义 给定向量组,对于任何一组实数，表达式
，
称为向量组的一个线性组合，称为这个线性组合的系数.
若存在向量，使
，
则称向量是向量组的线性组合，又称能由向量组线性表示.
定理 设向量，向量，则向量能由向量组 线性表示的充要条件是矩阵与矩阵的秩相等.
三、向量组间的线性表示
定义 设有两向量组，，若向量组中的每一个向量都能由向量组线性表示，则称向量组能由向量组线性表示. 若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价.
注：若，则矩阵的列向量组能由矩阵的列向量组线性表示，为这一表示的系数矩阵. 而矩阵的行向量组能由的行向量组线性表示，为这一表示的系数矩阵.
定理 若向量组可由向量组线性表示，向量组可由向量组线性表示，则向量组可由向量组线性表示.
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