大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第六章 线性空间与线性变换 -> 6.5 线性变换的矩阵表示 -> 内容要点 -> 线性变换在不同基下的矩阵
线性变换在不同基下的矩阵
已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？
定理 设线性空间中取定两个基
；，
由到基的过渡矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，则
.
证明
.
注意到线性无关，从而. 证毕.
注：定理表明：与相似，且两个基之间的过渡矩阵就是相似变换矩阵.
定义 线性变换的像空间的维数，称为线性变换的秩.
若是的矩阵，则的秩就是. 若的秩为，则的核的维数为.
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知识点提示
1、基变换公式与过渡矩阵
设及是线性空间的两个基，且有基变换公式
则矩阵称为由基到基的过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆的.
2、线性变换在给定基下的矩阵
设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这组基在下的像可表示为
，
则矩阵就称为变换在基下的矩阵.
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