大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第六章 线性空间与线性变换 -> 6.2 基、维数与坐标 -> 内容要点 -> 线性空间的同构
线性空间的同构
设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间的对应就是到的一个映射. 由于中的每个元素都有中的向量与之对应，同时中不同的向量的坐标不同，因而对应中的不同元素. 我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射. 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.
设，即向量在基下的坐标分别为和，则
，
.
于是与的坐标分别为
与.
上式表明：在向量用坐标表示后，它们的运算就归结为坐标的运算，因而线性空间的讨论就归结为的讨论.
定义 设、是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就称线性空间与同构.
同构的性质：
1.数域上任意两个维线性空间都同构.
2.同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性.
3.同维数的线性空间必同构.
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质. 从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.
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知识点提示
1、坐标的定义
设是线性空间的一个基，对于任一元素，总有且仅有一组有序数使
，
则称有序数组为元素在基下的坐标，并记作
.
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