大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第六章 线性空间与线性变换 -> 6.5 线性变换的矩阵表示 -> 内容要点 -> 线性变换与其矩阵的关系
线性变换与其矩阵的关系
设是线性变换在基下的矩阵，即基在变换下的像为
，
现推导变换必须满足的条件：，设，则
，
即 (1)
上式唯一地确定了一个以为矩阵的线性变换.
结论 在中取定一个基后，由线性变换可唯一地确定一个矩阵，由一个矩阵也可唯一的确定一个线性变换. 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.
由(1)式：在基下，与的坐标分别为
与 .
因此按坐标表示，有
.
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知识点提示
1、坐标的定义
设是线性空间的一个基，对于任一元素，总有且仅有一组有序数使
，
则称有序数组为元素在基下的坐标，并记作
.
2、线性变换在给定基下的矩阵
设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这组基在下的像可表示为
，
则矩阵就称为变换在基下的矩阵.
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