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线性代数(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第六章线性空间与线性变换 -> 6.2 基、维数与坐标 -> 内容要点 -> 生成子空间

生成子空间

定义设是线性空间中的一组向量. 显然，这组向量的所有可能的线性组合

所构成的集合是非空的，并且，对于加法和数乘两种运算是封闭的，因此是的一个子空间. 这个子空间称为由生成的子空间，记作.

对于生成子空间，有以下两个基本结论:

(1)两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.

证设与是线性空间中的向量组.

如果

则作为中的个向量，都可以由线性表示；同样，作为中的个向量，也可以由线性表示. 因此这两个向量组等价.

反之，如果与等价，则所有可以由线性表示的向量，也可以由线性表示，从而有

同理又有 .

(2)的维数等于向量组的秩.

证设向量组的秩为，且不妨设是它的一个极大无关组，因此与等价. 由(1)可知

，

故是的一组基，即的维数就是.

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知识点提示

1、子空间的定义

设是一个线性空间，是的一个非空子集，如果对于中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称为的子空间.

2、线性空间的基与维数

在线性空间中，若存在个元素，满足：

(1)线性无关；

(2)中任一元素总可由线性表示.则就称为线性空间的一个基，称为线性空间的维数.

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