学习辅导与同步训练

线性代数(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第五章二次型 -> 5.3 正定二次型 -> 内容要点 -> 定理6

定理6

定理6 秩为的元实二次型，设其规范形为

则

(1)负定的充分必要条件是，且
（即负定二次型，其规范形为）.

(2)半正定的充分必要条件是
（即半正定二次型的规范形为）.

(3)半负定的充分必要条件是，
（即）.

(4)不定的充分必要条件是
（即）.

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知识点提示

1、正定（负定）二次型

具有对称矩阵的二次型，如果对于任何非零向量，都有(或)成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.

2、半正定（半负定）二次型

如果对于任何非零向量，都有(或)成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.

3、不定二次型

二次型的正定（负定），半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性，不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.

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