正定矩阵的判定
定理1 设为正定矩阵，若与合同，则也是正定矩阵.
证明 与合同
可逆矩阵，使.
令，，对任意，有
，
故为正定矩阵.
注：由定理1的证明知：若与合同，则与具有相同的有定性.
定理2 对角矩阵正定的充分必要条件是
.
证明 必要性 设为正定矩阵，则任给，
，
取 .
充分性 对任给，至少有的某个分量
，，故，而当时，
.
为正定矩阵. 证毕.
由于对任一对称矩阵，存在正交矩阵，使得
，
其中是矩阵的全部特征值. 从而得到：
定理3 对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是它的特征值全大于零.
根据上述定理易见，为正定矩阵与合同，故有：
定理4 为正定矩阵的充分必要条件是的正惯性指数.
定理5 矩阵为正定矩阵的充分必要条件是：存在非奇异矩阵，使.
推论 若为正定矩阵，则.
证明 ，因是非奇异矩阵，，故.
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知识点提示
1、正定（负定）二次型
具有对称矩阵的二次型，如果对于任何非零向量，都有(或)成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.
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