大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第五章 二次型 -> 5.2 化二次型为标准形 -> 内容要点 -> 定理3-4
定理3-4
定理3 任给可逆矩阵，令，若为对称矩阵，则也为对称矩阵，且
.
证明 为对称矩阵，即有，于是
，
即为对称矩阵.
， .
又 ， .
. 证毕.
注：1.二次型经可逆变换后，其秩不变，但的矩阵由变为；
2.要使二次型经可逆变换变成标准形，即要使称为对角矩阵，即
.
定理4 任给二次型，总有正交变换，使化为标准形
，
其中，是的矩阵的特征值.
证明提示：由于对任意的实对称矩阵，总存在正交矩阵，使，即. 把此结论应用于二次型即得证.
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知识点提示
1、对称矩阵
设为阶方阵，若，即
，
则称为对称矩阵.
2、线性变换后的二次型及其矩阵
对于一般二次型，经可逆的线性变换可将其化为
.
其中为关于的二次型，对应的矩阵为.
3、二次型的标准形
若二次型经可逆线性变换化为只含平方项的形式
，
则称之为二次型的标准形.
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