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线性代数(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第五章二次型 -> 5.2 化二次型为标准形 -> 内容要点 -> 用初等变换化二次型为标准形

用初等变换化二次型为标准形

设有可逆线性变换，它把二次型化为标准形，则. 已知任一个非奇异矩阵均可以表示为若干个初等矩阵的乘积，故存在初等矩阵，使，于是

由此可见，对矩阵施以相应于右乘的初等列变换，再对施以左乘的初等行变换，矩阵变为对角矩阵，而单位矩阵就变为所要求的非奇异矩阵.

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知识点提示

1、线性变换后的二次型及其矩阵

对于一般二次型，经可逆的线性变换可将其化为

其中为关于的二次型，对应的矩阵为.

2、二次型的标准形

若二次型经可逆线性变换化为只含平方项的形式

，

则称之为二次型的标准形.

3、可逆矩阵与初等矩阵的关系

阶矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为若干初等矩阵的乘积.

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