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线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广.
定义 设是一个非空集合，为实数域. 如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称其为与的和，记作；若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称其为与的积，记作.若上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域上的线性空间（或向量空间）：
设，
(1)；
(2)；
(3)在中存在零元素，对任何，都有；
(4)对任何，都有的负元素，使；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
注：满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算；线性空间的元素一般仍称为向量，从而线性空间也称为向量空间. 显然，这里所说的向量，其涵义要比中的向量广泛得多.
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