大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第四章 矩阵的特征值与特征向量 -> 4.4 实对称矩阵的对角化 -> 内容要点 -> 实对称矩阵的性质(2)
实对称矩阵的性质(2)
定理2 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的.
证 设为阶实对称矩阵，分别是的对应于不同特征值的特征向量，于是
实对称， ，
于是
，即与正交. 证毕.
定理3 设为阶实对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而对应于特征值恰有个线性无关的特征向量(证明略).
定理4 设为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵.
证 设的互不相等的特征值为. 它们的重数分别为
.
根据定理和定理知，对应特征值恰有个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得个单位正交的特征向量，由知，这样的特征向量共可得个. 再由定理知，这个单位特征向量两两正交，并以它们为列向量构成正交矩阵，则
，
而的对角元素含个个，恰是的个特征值.
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知识点提示
1、特征值与特征向量的性质定理
阶矩阵互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.
2、特征值与特征向量的定义
设为阶方阵，如果数和维非零向量使
成立，则称数为的一个特征值，非零向量称为的对应于特征值的特征向量.
3、矩阵与对角矩阵相似的充要条件
定理 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵有个线性无关的特征向量.
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