大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第四章 矩阵的特征值与特征向量 -> 4.4 实对称矩阵的对角化 -> 内容要点 -> 实对称矩阵的性质(1)
实对称矩阵的性质(1)
实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.
定理1 实对称矩阵的特征值都为实数.
证明 设实对称矩阵的特征值为复数，其对应的特征向量为复向量，即
，
以表示的共轭复数，表示的共轭复向量.
则 ，
于是有 ， ①
和 ， ②
①-②得 ，
，即，故为实数. 证毕.
注：对实对称矩阵，是实系数方程组，由知必有实的基础解系，从而有实特征向量.
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知识点提示
1、特征值与特征向量的定义
设为阶方阵，如果数和维非零向量使
成立，则称数为的一个特征值，非零向量称为的对应于特征值的特征向量.
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