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线性代数(理工类)

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非齐次线性方程组的通解

定理设是非齐次线性方程组的一个解，是对应齐次线性方程组的通解，则是的通解.

证明根据齐次线性方程组解的性质，只需证明非齐次线性方程组的任一解一定能表示为与的某一解的和. 为此取，由非齐次线性方程组解的性质知，是的一个解，故

，

即非齐次线性方程组的任一解都能表示为该方程的一个解与其对应齐次线性方程组某一解的和.

注：设是基础解系，是的一个特解，则非齐次方程组的通解可表示为：

其中.

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知识点提示

1、齐次线性方程组的通解

如果是齐次线性方程组的一个基础解系，则的全部解可表示为

（*）

其中为任意实数，而表达式(*)称为线性方程组的通解.

2、非齐次线性方程组和其导出组解之和的性质

设是非齐次线性方程组的解，是对应齐次线性方程组的解，则是方程组的解.

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