一、内积的定义与性质

    定义  设有维向量

                         ，

令，称为向量与的内积.

    注：内积有时也记作,按矩阵的记法可表示为.

    运算性质：

    设为维向量，，则

    (1)；                  (2)；

    (3)；       (4)，当且仅当时，有.

二、向量的长度与性质

    定义  令 ，称为维向量的长度（或范数）.当时，称为单位向量，对中的任一非零向量，向量是一个单位向量.

    性质：

    1.非负性  ，当且仅当时，有；

    2.齐次性  ；

    3.三角不等式  ；

    4.对任意维向量，有  .

    注：若令 ，则性质4可表示为

                         （柯西—布涅可夫斯基不等式）

它说明中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系.

三、向量空间的正交基

1.正交向量组
    定义  若两向量与的内积等于零，即，则称向量与相互正交，记作. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.
    定理  若维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关.

2.正交基
    定义  若是向量空间的一个基，且是两两正交的非零向量组，则称是向量空间的正交基. 设维向量组是向量空间的一个正交基，如果该向量组中的每一个向量都是单位向量，称向量组是向量空间的一个规范正交基.

    正交基的求法：设是向量空间的一个基，求的一个规范正交基.
   (1)正交化：令，

          ，，

          ，

则两两正交，且与等价.
    (2)单位化：取，则是的一个规范正交基.

四、正交矩阵与正交变换

1.正交矩阵
    定义  若阶方阵满足，则称为正交矩阵，简称正交阵.

    性质：

    (1)，即；

    (2)若是正交矩阵，则(或)也是正交矩阵；

    (3)两个正交矩阵之积仍是正交矩阵；

    (4)正交矩阵的行列式等于或.

    定理  为正交矩阵的充要条件是的列向量组是单位正交向量组.

2.正交变换
    定义  若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换.    

    性质：正交变换保持向量的长度不变.