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求逆矩阵的初等变换法
定理 阶矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为若干初等矩阵的乘积.
证 因初等矩阵可逆，所以充分条件显然.
必要性.由定理的推论知，若可逆，则经有限次初等变换可化为. 即存在初等矩阵，使得
，
即矩阵可以表示为若干初等矩阵的乘积. 证毕.
逆矩阵的一种求法：若可逆，则可逆，由定理，存在初等矩阵使得
，
即 ， ①
， ②
①式表示对施以若干次初等行变换化为，②式表示对施以同样的初等行变换化为.
具体求法：作为一个矩阵
.
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知识点提示
1、初等变换
矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
(1)交换矩阵的两行
(交换两行，记为)；
(2)以一个非零的数乘矩阵的某一行
(第行乘，记为)；
(3)把矩阵的某一行的倍加到另一行
(第行乘加到行，记为).
类似可定义矩阵的初等列变换(相应记号中把换成).
2、初等变换与初等矩阵的关系
定理 设，对施以一次某种初等行（列）变换，相当于用同种的阶初等矩阵左（右）乘.
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