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线性代数(简明版-经管类)

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大学普通本科 -> 简明版-经管类 -> 线性代数 -> 第三章线性方程组 -> 3.4 向量组的秩 -> 内容要点 -> 定理3

定理3

定理3 若向量组能由向量组线性表示，则.

证明设向量组的一个极大无关组为，向量组的一个极大无关组为，欲证.

向量组能由线性表示，能由线性表示，能由线性表示

向量组能由线性表示，即存在系数矩阵，使得

，

若，则方程组（简记为）有非零解（），从而方程组有非零解，这与向量组线性无关矛盾，故不能成立

. 证毕.

推论1 等价的向量组的秩相等（由等价的定义及定理推得）.

推论2 设，则，.

证明设矩阵和用其列向量表示为

，，而，

由，知矩阵的列向量组能由的列向量组线性表示，因此

，由上面结论得，即

. 证毕.

推论3 设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个极大无关组.

证明设向量组含有个向量，则它的秩为，因向量组能由向量组线性表示，故，从而向量组中任意个向量线性相关，所以向量组是向量组的一个极大无关组.

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