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概率论与数理统计(理工类)

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随机变量函数的数学期望

　　设是一随机变量，为一实函数，则也是一随机变量，理论上，虽然可通过的分布求出的分布，再按定义求出的数学期望，但这种求法一般比较复杂. 下面将不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.

　　定理1 设是一个随机变量，, 且存在，于是

　　(1) 若为离散型随机变量，其概率分布为

则的数学期望为

；

　　(2) 若为连续型随机变量，其概率密度为，则的数学期望为

注：上述定理可推广到二维以上的情形.

　　定理2 设是二维随机变量，, 且存在，则

　　(1) 若为离散型随机变量，其概率分布为

则Z的数学期望为

；

　　(2) 若为连续型随机变量，其概率密度为，则的数学期望为

定理的重要性在于：求时，不必知道的分布，只需知道的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便.

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