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函数项级数的一致收敛性
一.一致收敛的概念
设函数项级数在区间上收敛于和函数，如果对任意给定的，都存在着一个与无关的自然数，使得当时，对区间上的一切恒有
，
则称该函数项级数在区间上一致收敛于和，也称函数序列在区间上一致收敛于.
二.魏尔斯特拉斯判别法
如果函数项级数在区间上满足条件：
（1）； （2）正项级数收敛.
则该函数项级数在区间上一致收敛.
三.定理2
如果级数的各项的知项在区间上都连续，且级数在区间上一致收敛于，则在上也连续.
四.定理3
设在上连续，且级数在区间上一致收敛于，则存在，且级数在上可以逐项积分，即
，
其中，且上式右端的级数在上也一致收敛.
五.定理4
如果级数在区间上收敛于和，它的各项都有连续导数，并且级数在上一致收敛，则级数在上也一致收敛，且可逐项求导，即有
.
六.定理5
如果幂级数的收敛半径为，则此级数在内的任一闭区间上一致收敛.
七.定理6
如果幂级数的收敛半径为，则其和函数在内可导，且有逐项求导公式
，
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径.
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