大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第三章 线性方程组 -> 3.2 向量组的线性组合 -> 内容要点 -> 向量组间的线性表示
向量组间的线性表示
定义 设有两向量组，，若向量组中的每一个向量都能由向量组线性表示，则称向量组能由向量组线性表示. 若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价.
按定义，若向量组能由向量组线性表示，则存在使
，
，
其中矩阵称为这一线性表示的系数矩阵.
注：若，则矩阵的列向量组能由矩阵的列向量组线性表示，为这一表示的系数矩阵. 而矩阵的行向量组能由的行向量组线性表示，为这一表示的系数矩阵.
定理2 若向量组可由向量组线性表示，向量组可由向量组线性表示，则向量组可由向量组线性表示.
证明 由定理条件，存在系数矩阵使得
，
即向量组可由向量组线性表示.
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知识点提示
1、线性表示
对给定向量组与向量，若存在一组数，使
，
则称向量是向量组的线性组合，又称能由向量组线性表示.
2、线性表示的性质定理
设向量能由向量组线性表示的充要条件是矩阵与矩阵的秩相等.
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