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高等数学(简明版-理工类)

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收敛半径的求法

定理2 设幂级数的所有系数，如果

，

则（1）当时，这幂级数的收敛半径；

（2）当时，这幂级数的收敛半径；

（3）当时，这幂级数的收敛半径.

证对绝对值级数应用比值判别法，有

（1）若存在，则当时，题设级数绝对收敛；当时，级数发散，且当充分大时有，故一般项不趋于零，级数发散. 即收敛半径；

（2）若，则对任何，有，故级数收敛，即级数绝对收敛，收敛半径；

（3）若，则对任何非零的，有. 所以幂级数发散. 于是.

注：根据幂级数的系数的形式，有时，我们也可用根值判别法来求收敛半径，此时，有.
在定理2中，我们假设所给幂级数的所有系数，这样幂级数的各项是依幂次连续的. 如果幂级数有缺项，如缺少奇数次幂的项等，则应直接利用比值判别法或根值判别法来判断幂级数的收敛性.

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