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微积分(经管类)

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一阶常系数线性非齐次差分方程

(1)

(2)

定理1 设为方程(2)的通解，为方程(1)的一个特解，则为方程(1)的通解.

证明由题设，有，及，将两式相加得

即为方程(1)的通解.

下面我们对右端项的几种特殊形式给出求其特解的方法，进而给出式(1)的通解的形式：

(a) (为非零常数).

给定，由于，所以

故方程(1)的通解

，

其中，常数 .

(b) (为非零常数，且).

当时，设为方程(1)的特解，其中为待定系数. 将其代入方程(1)，得

故当时，方程(1)通解为 .

当时，设为(1)的特解，将其代入(1)，得

故当时，方程(1)通解为

当时，设为方程(1)的特解，其中为待定系数. 将其代入方程(1)，求出系数，就得到方程(1)的特解.

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