大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 高等数学 -> 第十一章 曲线积分与曲面积分 -> 复习总结与总习题解答 -> 知识点总结 -> 格林公式
格林公式
一.格林公式
设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有
其中是的取正向的边界曲线.
二.利用格林公式计算平面图形的面积
格林公式
.
取，，得
.
闭区域的面积
.
取，.
取，.
三. 曲线积分的几个等价问题
设开区域是一个单连通区域，函数，在内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价： (1)曲线积分在内与路径无关；
(2)为某二元函数的全微分；
(3)在内恒成立；
(4)对内任意闭曲线，.
四.二元函数的全微分求积
若，在内满足定理的条件，则
满足
称为表达式的原函数. 此时，因（1）式右端的曲线积分与路径无关，于是分别选取如图路径或，即得
设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有
其中是的取正向的边界曲线.
二.利用格林公式计算平面图形的面积
格林公式
.
取，，得
.
闭区域的面积
.
取，.
取，.
三. 曲线积分的几个等价问题
设开区域是一个单连通区域，函数，在内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价： (1)曲线积分在内与路径无关；
(2)为某二元函数的全微分；
(3)在内恒成立；
(4)对内任意闭曲线，.
四.二元函数的全微分求积
若，在内满足定理的条件，则
满足
称为表达式的原函数. 此时，因（1）式右端的曲线积分与路径无关，于是分别选取如图路径或，即得
或
五.全微分方程及其解法
如果方程
（1）
的左端恰好是某个函数的全微分：
，
则称方程（1）为全微分方程.
此方程通解为
或
其中是内任意一点.
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