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高等数学(简明版-理工类)

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第一类曲线积分

一.第一类曲线积分的概念
   设为面内一条光滑曲线弧，函数在上有界.用上的点，，把分成个小段.设第个小段的长度为，又为第个小段上任意取定的一点，作乘积，并作和.如果当各小弧段的长度的最大值时，这和的极限存在，则称此极限为函数在曲线弧上第一类曲线积分，或称对弧长的曲线积分，记作，即

其中，称为被积函数，称为积分弧段.
二．第一类曲线积分的性质
性质1 设，为常数，则
              .
性质2 设由和两端光滑曲线组成（记为），则

性质3 设在上有，则.
性质4（中值定理）设函数在光滑曲线上连续，则在上必存在一点，使
其中是曲线的长度.
三.第一类曲线积分的计算
   设曲线（记为）的参数方程为
                      ， .
其中，具有一阶连续导数，且.
又设函数在曲线弧上有定义且连续，根据曲线的弧微分公式，再根据在曲线弧上的第一类曲线积分的定义，即得
                  .

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