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高等数学(简明版-理工类)

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三重积分（二）

一.利用柱面坐标计算三重积分
   设为空间内一点，并设点在面上的投影的极坐标为，则这样的三个数称为点的柱面坐标.规定：，.
柱面坐标与直角坐标的关系

柱面坐标系中的体积微元

则柱面坐标系下三重积分的表达式：

二.利用球面坐标计算三重积分

设为空间内一点，则点可用三个有次序的数，，来确定，其中的原点与点间的距离，为有向线段与轴正向所夹的角，为从正轴来看自轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里为点在面上的投影，这样的三个数，，就叫做点的球面坐标.规定：.
球面坐标与直角坐标的关系

.
球面坐标系中的体积微元
，

三.空间立体的重心与转动惯量
   设空间立体占有区域，在点的体密度为，则该立体的重心
其中质量
静矩，， ,
而转动惯量， .
四.空间立体对质点的引力
   设有空间物体占有空间有界闭区域，是位于该物体外一点，按两质点间的引力公式,
                    ，
其中为引力微元在三个坐标轴上的分量，            ，
为引力常数. 将在上分别积分，即得

             .

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