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高等数学(简明版-理工类)

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大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 高等数学 -> 第九章多元函数微分学 -> 9.7 方向导数与梯度 -> 内容要点 -> 梯度的概念

梯度的概念

设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，称它为函数在点的梯度，记为. 即

设是与方向同方向的单位向量，则有

，

其中，于是，是梯度在射线上的投影.

易见，当时，达到最大值。由此得到下列结论：

结论函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

梯度的模为

轴到梯度的转角的正切为

类似地，可定义三元函数在空间区域内某点的梯度

它也具有类似于二元函数的性质和结论.

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