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高等数学(简明版-理工类)

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大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 高等数学 -> 第九章多元函数微分学 -> 9.7 方向导数与梯度 -> 内容要点 -> 方向导数的概念

方向导数的概念

设函数在点的某一邻域内有定义，自点引射线. 设轴正向到射线的转角为，并设为上的另一点且.

于是

，

如果极限存在，则称这极限为函数在点沿方向的方向导数，记为，即

依定义，函数在点沿着轴正向、轴正向的方向导数分别为，；沿着轴负向、轴负向的方向导数为，. 一般地，

定理如果函数在点处是可微分的，则函数在该点处沿任意方向的方向导数都存在，且有

，

其中为轴到方向的转角.

证明由于函数可微，则增量可表示为

（，）

两边同除以，故有

证毕.

注：这个定理可类似地推广到三元函数的情形。

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