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高等数学(简明版-理工类)

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链式法则（1）

复合函数的中间变量为一元函数的情形

设函数函数，，构成复合函数，其变量关系可用如下的链式图来表达。

定理1 如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点可导，且其导数可用下列公式计算：

证设给以增量，则函数相应得到增量

，.

由于函数在点处有连续的偏导数，因此在点处可微，于是有

，

这里，当，时，，，上式两端除以，得

因为当时，，，且，，所以

证毕.

定理1的结论可推广到中间变量多于两个的情形.

例如，设，构成复合函数，则在满足与定理1相类似的条件下，有

上述公式中的导数称为全导数.

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