正交矩阵与正交变换
定义1 若阶方阵满足，则称为正交矩阵，简称正交阵.
正交矩阵有以下几个重要性质：
(1)，即；
(2)若是正交矩阵，则(或)也是正交矩阵；
(3)两个正交矩阵之积仍是正交矩阵；
(4)正交矩阵的行列式等于或.
证 (1)是显然的.
(2)因为，因此也是正交阵.
(3)设与都是阶正交阵，则
，
由正交阵的定义知也是正交阵.
(4)若是正交阵，则，而
，
又由行列式性质知，因此，即或.
定理 为正交矩阵的充要条件是的列向量组是单位正交向量组.
证 设，其中是的列向量组，则等价于
，
即 . 证毕.
注：由与等价，定理结论对行向量也成立.
定义2 若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换.
重要性质：正交变换保持向量的长度不变.
证 设为正交变换，则
. 证毕.
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