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初等变换
一、矩阵的初等变换
定义 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
(1)交换矩阵的两行（交换两行，记为）；
(2)以一个非零的数乘矩阵的某一行（第行乘，记为）；
(3)把矩阵的某一行的倍加到另一行（第行乘加到行，记为）.
类似可定义矩阵的初等列变换(相应记号中把换成).
注：矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
二、矩阵的等价
定义 若矩阵经有限次初等变换变成矩阵，则称矩阵与等价，记为(或).
矩阵等价的性质：
(1)自反性 ；
(2)对称性 若，则；
(3)传递性 若，，则.
三、初等矩阵
定义 对单位矩阵施以一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.
(1)对施以第一种初等变换（或）得到矩阵；
(2)对施以第二种初等变换（）得到矩阵；
(3)对施以第三种初等变换（）得矩阵 .
四、关于初等变换的几个重要定理
定理1 任意一个矩阵经过有限次初等变换，可以化为下列标准形矩阵
.
定理2 设，对施以一次某种初等行（列）变换，相当于用同种的阶初等矩阵左（右）乘.
定理3 阶矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为若干初等矩阵的乘积.
五、用初等变换求矩阵的逆和矩阵方程
1.求矩阵的逆：
.
2.求矩阵方程 (可逆)：
；
3.求矩阵方程(可逆)：
.
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