矩阵秩的求法
阶梯形矩阵的秩容易判断，而任何矩阵都可经过有限次初等行变换化为阶梯形，因此可用初等变换来求矩阵的秩.
定理 矩阵经初等变换后，其秩不变.
证 仅考察经一次初等行变换的情形.
设经初等变换变为，且，，当对施以互换两行或以某非零数乘某一行的变换时，矩阵中任何阶子式等于某一非零数与的某个阶子式的乘积，其中或其它非零数. 因为的任何阶子式皆为零，因此的任何阶子式也都为零.
当对施以第行乘后加至第行的变换时，矩阵的任意一个阶子式，若它不含的第行或既含的第行又含第行，则它即等于的一个阶子式；若含的第行但不含的第行时，则，其中是中的两个阶子式. 由的任何阶子式均为零，因此的任何阶子式也全为零.
根据上述分析，对施以一次初等行变换后得到时，，即.
同理，也可经过相应的初等变换得，故又有.
因此得到，.
显然上述结论对初等列变换亦成立.
根据上述结果，对施以一次初等变换所得矩阵的秩与的秩相同，易知对施以有限次初等变换有相同的结论.
初等变换求矩阵秩的方法：
用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
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