矩阵乘法的运算规律
证2 设 则
；
同理可证1,3,4成立.
注意：矩阵的乘法一般不满足交换律，即 ;
例如，设, ，
则 ,
而 ,
从上例还可看出：两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，故不能从必然推出或.
此外，矩阵乘法一般也不满足消去律，即不能从必然推出. 例如，设
, , ,
则 ,
但.
但并非所有的矩阵的乘法都不能交换，例如，设
，，
则 .
定义 如果两矩阵相乘，有, 则称矩阵与矩阵可交换.
命题 设均为阶矩阵，则下列命题等价：
(1);
(2);
(3);
(4).
虽然矩阵乘法一般不可以交换，但对于某些特殊的矩阵，乘法仍是可以交换的.
例如，设 .
这是一个阶数量矩阵，这样的矩阵对任何阶方阵的乘积都是可以交换的.
一般地，
推论 阶矩阵对任何阶方阵的乘积都是可以交换的充要条件是
显然，当时是阶单位阵，这时对任何阶方阵有
.
因此单位阵在矩阵乘法中的作用与1在数的乘法中的作用是类似的.
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