大学普通本科 -> 经管类 -> 微积分 -> 第八章 微分方程与差分方程 -> 复习总结与总习题解答 -> 知识点总结 -> 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程
一.右端函数，其中是常数，是次多项式
(1)
方程(1)具有如下形式的特解：
(为某个多项式)
将上式代入方程(1)中，化简整理得
(2)
(1)对应特征方程为
(3)
1.若不是特征方程(3)的根，则，可设
，
相应的特解形式
.
2.若是特征方程(3)的单根，则
，，
可设，相应的特解形式
.
3.若是特征方程(3)的重根，则
，，
可设，相应的特解形式
.
综上所述，可见方程(1)具有特解形式
(4)
而按是不是特征方程的根、单根或重根依次取0、1或2.
二.函数右端或，其中，是常数.
由欧拉公式知道，和分别是
的实部和虚部. 因此先考虑方程
(3)
(3)具有特解形式：
(4)
的特解，其中是与同次(次)的多项式，而按不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
(1)
方程(1)具有如下形式的特解：
(为某个多项式)
将上式代入方程(1)中，化简整理得
(2)
(1)对应特征方程为
(3)
1.若不是特征方程(3)的根，则，可设
，
相应的特解形式
.
2.若是特征方程(3)的单根，则
，，
可设，相应的特解形式
.
3.若是特征方程(3)的重根，则
，，
可设，相应的特解形式
.
综上所述，可见方程(1)具有特解形式
(4)
而按是不是特征方程的根、单根或重根依次取0、1或2.
二.函数右端或，其中，是常数.
由欧拉公式知道，和分别是
的实部和虚部. 因此先考虑方程
(3)
(3)具有特解形式：
(4)
的特解，其中是与同次(次)的多项式，而按不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
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