大学普通本科 -> 经管类 -> 微积分 -> 第八章 微分方程与差分方程 -> 8.6 二阶常系数齐次线性微分方程 -> 内容要点 -> 二阶常系数齐次线性方程的解法
二阶常系数齐次线性方程的解法
（，是常数) (1)
为求方程(1)的通解，先求其任意两个线性无关的特解，，尝试令特解形式：(为待定常数)，将其代入(1)，得
因为，故有
(2)
易见，如果是方程(2)的根，则就是方程(1)的特解. 称方程(2)为方程(1)的特征方程，其根，称为特征根.
1.特征方程(2)有两个不相等的实根，.
此时，，是(1)的两个线性无关的特解，故(1)的通解为
(，为任意常数).
2.特征方程(2)有两个相等的实根.
此时，，得到(1)的一个特解.
为寻找另一特解与线性无关的特解，可设
(为待定函数).
将其代入(1)，整理得
，
注意到是(1)的二重根，上式即成为，取，即得到(1)的另一个特解，故(1)的通解为
(，为任意常数).
3.特征方程(2)有一对共轭复根，.
此时，方程(1)有两个特解，，可利用欧拉公式对上述两个特解重新组合得到实数形式的解：
，，
故方程(1)的通解为
.
根据特征方程的根直接确定所求通解的方法称为特征方程法.
为求方程(1)的通解，先求其任意两个线性无关的特解，，尝试令特解形式：(为待定常数)，将其代入(1)，得
因为，故有
(2)
易见，如果是方程(2)的根，则就是方程(1)的特解. 称方程(2)为方程(1)的特征方程，其根，称为特征根.
1.特征方程(2)有两个不相等的实根，.
此时，，是(1)的两个线性无关的特解，故(1)的通解为
(，为任意常数).
2.特征方程(2)有两个相等的实根.
此时，，得到(1)的一个特解.
为寻找另一特解与线性无关的特解，可设
(为待定函数).
将其代入(1)，整理得
，
注意到是(1)的二重根，上式即成为，取，即得到(1)的另一个特解，故(1)的通解为
(，为任意常数).
3.特征方程(2)有一对共轭复根，.
此时，方程(1)有两个特解，，可利用欧拉公式对上述两个特解重新组合得到实数形式的解：
，，
故方程(1)的通解为
.
根据特征方程的根直接确定所求通解的方法称为特征方程法.
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