泰勒中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则当在内时可以表示为的一个次多项式与一个余项之和：
，
其中 （在与之间）.
证明 由，在内具有直到阶导数，且
，
两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理得条件，从而有
（在与之间），
两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，从而有
（在与之间），
如此下去，经过次后，有
（在与之间）
因为，所以，从而由上式得
（拉格朗日型余项）
其中在与之间.证毕.注意到
，
则有 （皮亚诺型余项）
综合得到阶泰勒公式：
（阶泰勒公式）
（拉格朗日型余项）
（皮亚诺型余项）
注：当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式：
（在与之间），
若在泰勒公式中令，则得到所谓的麦克劳林公式：
其中 或.
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