拉格朗日中值定理的深入研究
拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.
设在内可导，，，则有
.
即 . （增量的精确表达式）
拉格朗日中值公式又称为有限增量公式.
拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称这个定理为微分中值定理.在某些问题中，当自变量取得有限增量而需要函数增量的准确表达式时，拉格朗日中值定理就显出其重要价值.例如，函数在上连续且在内可导，如图所示.
因为和，拉格朗日中值定理中的导函数在区间中的某点一定取值.在这个（例外的）情形中，我们可以通过解方程得到，从而具体确定了.
拉格朗日中值定理的物理解释：
把数设想为在上的平均变化率而是的瞬时变化率. 拉格朗日中值定理是说，在整个区间上的平均变化率一定等于某个内点处的瞬时变化率.
推论1 如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数.
证明 在区间上任取两点，在区间上应用拉格朗日中值定理，得
.
由假设，于是 ，
再由的任意性，知在区间上任意点处的函数值都相等，即在区间上是一个常数.
推论1表明：导数为零的函数就是常数函数.这一结论以后在积分学中将会用到.由推论1立即可得：
推论2 如果函数与在区间上恒有，则在区间上（为常数）.
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