一、连续函数的算术运算
若函数，在点处连续，则
，，.
在点处也连续.
二、反函数的连续性
若函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续，则它的反函数也在对应的区间
上单调增加(或单调减少)且连续.
三、复合函数的连续性
⑴ 若，函数在点处连续，则有
.
意义 1.极限符号可以与连续函数符号互换；
2.给出了变量代换的理论依据.
⑵ 设函数在点处连续，且，而函数在点处连续，则复合函数在点处也连续.
四、初等函数的连续性
⑴ 基本初等函数在定义域内是连续的.
⑵ 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
注意 ① 初等函数仅在其定义区间内连续，但在其定义域内不一定连续.
② 初等函数求极限的方法(代入法)
(定义区间).
五、幂指数函数
形如的函数称为幂指函数. 因为
，
故幂指函数可化为复合函数.
易见：若，，则
.
即 .（注意公式成立的条件）
六、闭区间上连续函数的性质
⑴ 最大值和最小值定理
Ⅰ最大最小值定义： 对于在区间上有定义的函数，如果有，使得对于任一都有
，
则称是函数在区间上的最大(小)值.
Ⅱ最大值和最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
⑵ 有界性定理：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
⑶ 零点定理：设函数在闭区间上连续，且与异号(即)，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使. 即方程在内至少存在一个实根.
⑷ 介值性定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
及.
那么，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得
.
七、一致连续的概念
⑴一致连续的定义：设函数在区间上有定义，若，，使得对于区间上的任意两点，，当时，就有
.
则称函数在区间上是一致连续的.
⑵一致连续性定理：如果函数在闭区间上连续，则它在该区间上一致连续.
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