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线性代数(经管类)

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大学普通本科 -> 经管类 -> 线性代数 -> 第五章二次型 -> 5.3 正定二次型 -> 内容要点 -> 定理7

定理7

定理7 阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式

证明必要性设为正定的，令，代入得

，

故的顺序主子式.

充分性设. 当时，

，定理成立.

设所证结论对情形成立，现在来证结论对元情形也成立. 将二次型改写为

其中.

因为，故，现只要证明上式中二次型

为正定即可，即只需证.

注意到，即得. 证毕.

注：若是负定矩阵，则为正定矩阵，故为负定矩阵的充要条件是：

对半正定（半负定）矩阵有类似的结论：
对称矩阵半正定（半负定）的充要条件是：“的所有主子式大于（小于）或等于零”或“的全部特征值大于（小于）或等于零”.

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